Diferența între integrali definiți și nedefiniți

Calculul este o ramură importantă a matematicii, iar diferențierea joacă un rol critic în calcul. Procesul invers al diferențierii este cunoscut sub numele de integrare, iar inversul este cunoscut ca integrarea, sau pur și simplu pus, inversul diferențierii dă un integru. Pe baza rezultatelor obținute, integralele sunt împărțite în două clase, adică integrale definite și nedefinite.

Integrala definita

Integratul definitiv al f (x) este NUMBER și reprezintă aria de sub curbă f (x) din x = a la x = b.

Un integral integrat are limite superioare și inferioare ale integralelor și se numește definit deoarece, la sfârșitul problemei, avem un număr - este un răspuns clar.

Integral indefinit

Integralul indefinit al f (x) este o FUNCȚIE și răspunde la întrebarea: "Ce funcție dă atunci când este diferențiată f (x)?“

Cu un integrator indefinit nu există limite superioare și inferioare ale integralității aici și ceea ce vom obține este un răspuns care încă mai are Xeste în ea și va avea, de asemenea, o constantă (de obicei, denotată de C) în ea.

Integralul indefinit oferă, de obicei, o soluție generală la ecuația diferențială.

Integralul indefinit este mai mult o formă generală de integrare și poate fi interpretat ca un derivat antidinetic al funcției considerate.

Să presupunem diferențierea funcției F duce la o altă funcție f, iar integrarea lui f dă integritatea. Din punct de vedere simbolic, aceasta este scrisă ca

F (x) = ∫ƒ (x) dx

sau

F = ∫ƒ dx

unde ambele F și ƒ sunt funcții de X, și F este ușor de diferențiat. În forma de mai sus, se numește integrale Reimann, iar funcția rezultantă însoțește o constantă arbitrară.

Un integrator indefinit produce deseori o familie de funcții; prin urmare, integrala este indefinita.

Integralele și procesul de integrare se află în centrul rezolvării ecuațiilor diferențiale. Cu toate acestea, spre deosebire de etapele de diferențiere, etapele de integrare nu au întotdeauna o rutină clară și standard. Ocazional, vedem că soluția nu poate fi exprimată explicit în termenii funcției elementare. În acest caz, soluția analitică este adesea dată sub forma unui integral nedefinit.

Teorema fundamentală a calculului

Integralul definit și cel indefinit sunt legate de teorema fundamentală a calculului după cum urmează: Pentru a calcula a integrala definita, găsi nedefinit integral (cunoscută și ca anti-derivată) a funcției și evaluată la punctele finale x = a și x = b.

Diferența dintre integralele definite și nedefinite va fi evidentă odată ce vom evalua integralele pentru aceeași funcție.

Luați în considerare următorul integral:

O.K. Să le facem pe amândoi și să vedem diferența.

Pentru integrare, trebuie să adăugăm unul la index care ne conduce la următoarea expresie:

În acest moment C este doar o constantă pentru noi. Informații suplimentare sunt necesare în problema pentru a determina valoarea exactă a C.

Să evaluăm același integral în forma sa definită, adică cu limitele superioare și inferioare incluse.

Din punct de vedere grafic, calculăm acum suprafața de sub curbă f (x) = y³ între y = 2 și y = 3.

Primul pas în această evaluare este același cu evaluarea integrală nedeterminată. Singura diferență este că de această dată nu adăugăm constanta C.

Expresia în acest caz arată după cum urmează:

Aceasta este rândul său duce la:

În esență, am înlocuit 3 și apoi 2 în expresie și am obținut diferența dintre ele.

Aceasta este valoarea definită, spre deosebire de utilizarea constantei C mai devreme.

Să explorăm în detaliu un factor constant (cu privire la integritatea nedeterminată).

Dacă diferența dintre y³ este 3Y², atunci

∫3Y²dy = y³

in orice caz, 3Y² ar putea fi diferența dintre multe expresii dintre care unele includ y³-5, y³+7, etc ... Aceasta implică faptul că inversarea nu este unică deoarece constanta nu este înregistrată în timpul operației.

Deci, în general, 3Y² este diferența dintre y³+C Unde C este orice constanta. De altfel, C este cunoscut sub numele de "constantă de integrare".

Scriem aceasta ca:

∫ 3Y².dx = y³ + C

Tehnicile de integrare pentru un integrat indefinit, cum ar fi căutarea de tabele sau integrarea Risch, pot adăuga noi discontinuități în timpul procesului de integrare. Aceste noi discontinuități apar deoarece anti-derivații pot necesita introducerea logaritmilor complexe.

Logaritmii complexi au o discontinuitate de salt atunci când argumentul traversează axa reală negativă, iar algoritmii de integrare uneori nu pot găsi o reprezentare în cazul în care aceste sărituri anulează.

Dacă integritatea definită este evaluată prin calcularea mai întâi a unui integral nedefinit și apoi înlocuirea limitelor de integrare în rezultatul, trebuie să fim conștienți de faptul că integrarea pe termen nelimitat ar putea produce discontinuități. În plus, trebuie să investigăm discontinuitățile din intervalul de integrare.