Diferența dintre seria aritmetică și geometria

Seria aritmetică vs. geometria
 

Definiția matematică a unei serii este strâns legată de secvențe. O secvență este un set ordonat de numere și poate fi fie un set finit, fie un set infinit. O secvență de numere cu diferența dintre două elemente fiind o constantă este cunoscută ca o evoluție aritmetică. O secvență cu un coeficient constant al a două numere succesive este cunoscută ca o progresie geometrică. Aceste progresii pot fi fie finite, fie infinite, iar dacă sunt finite, numărul de termeni este numărare, altfel nesemnificativ.

În general, suma elementelor dintr-o evoluție poate fi definită ca o serie. Suma unei progresii aritmetice este cunoscută ca o serie aritmetică. De asemenea, suma unei progresii geometrice este cunoscută ca o serie geometrică.

Mai multe despre seria aritmetică

Într-o serie aritmetică, termenii succesivi au o diferență constantă.

S_n = a₁ + A₂ + A₃ + A₄ +⋯ + a_n = Σⁿ_{i = 1} A_eu ; unde un₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, și așa mai departe.

Această diferență d este cunoscută ca diferența comună, iar n^lea termenul este dat de a_n = a₁+ (N-1) d; unde un₁ este primul termen.

Comportamentul schimbărilor seriei pe baza diferenței comune d. Dacă diferența comună este pozitivă, progresia tinde să fie infinită pozitivă, iar dacă diferența comună este negativă, ea tinde spre infinitatea negativă.

Suma seriei poate fi obținută prin formula următoare, care a fost dezvoltată pentru prima oară de astronomul indian și de matematicianul Aryabhata.

S_n = n / 2 (a₁+ A_n ) = n / 2 [2a₁ + (N-1) d]

Suma S_n pot fi fie finite, fie infinite, în funcție de numărul de termeni.

Mai multe despre seria geometrică

O serie geometrică este o serie cu coeficientul constant al numerelor succesive. Este o serie importantă găsită în studiul seriei, datorită proprietăților pe care le posedă.

S_n = ar + ar² + Ar³ +⋯ + arⁿ = Σⁿ_{i = 1} Ar^eu

Pe baza raportului r, comportamentul seriei poate fi clasificat după cum urmează. r = | r | ≥ seria divergente; seria r≤1 converge. De asemenea, dacă r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Suma seriei geometrice poate fi calculată folosind următoarea formulă. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); unde a este termenul inițial și r este raportul. Dacă raportul r≤1, seria converge. Pentru o serie infinită, valoarea convergenței este dată de S_n= a / (1-r).

Seria geometrică are numeroase aplicații în domeniile științelor fizice, ingineriei și economiei

Care este diferența dintre seria aritmetică și geometria?

• O serie aritmetică este o serie cu o diferență constantă între doi termeni adiacenți.

• O serie geometrică este o serie cu un coeficient constant între doi termeni succesivi.

• Toate seria aritmetică infinită este întotdeauna divergentă, dar în funcție de raport, seria geometrică poate fie convergentă, fie divergentă.

• Seria geometrică poate avea oscilații în valori; adică numerele își schimbă semnele în mod alternativ, dar seriile aritmetice nu pot avea oscilații.