Diferența dintre secvența aritmetică și secvența geometrică

Secvență aritmetică vs. secvență geometrică
 

Studiul modelelor de numere și comportamentul lor este un studiu important în domeniul matematicii. Deseori, aceste modele pot fi văzute în natură și ne ajută să explicăm comportamentul lor din punct de vedere științific. Secvențele aritmetice și secvențele geometrice sunt două dintre modelele de bază care apar în numere și se regăsesc adesea în fenomenele naturale.

Secvența este un set de numere ordonate. Numărul de elemente din secvență poate fi fie finit, fie infinit.

Mai multe despre secvența aritmetică (progresie aritmică)

O secvență aritmetică este definită ca o secvență de numere cu o diferență constantă între fiecare termen consecutiv. Este, de asemenea, cunoscut ca progresie aritmetică.

Aritmetica Sequnece ⇒ a₁, A₂, A_3, A₄,… , A_n ; unde un₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, și așa mai departe.

Dacă termenul inițial este a₁ și diferența comună este d, atunci n^lea termenul secvenței este dat de;

A_n = a₁ + (N-1) d

Luând mai departe rezultatul de mai sus, n^lea termenul poate fi dat și ca;

A_n = a_m + (N-m) d, unde un_m este un termen aleatoriu în secvență astfel încât n> m.

Setul de numere pare și setul de numere impare sunt cele mai simple exemple de secvențe aritmetice, în care fiecare secvență are o diferență comună (d) de 2.

Numărul de termeni dintr-o secvență poate fi infinit sau finit. În cazul infinit (n → ∞), secvența tinde spre infinit în funcție de diferența comună (a_n → ± ∞). Dacă diferența comună este pozitivă (d> 0), secvența tinde spre infinit pozitiv și, dacă diferența comună este negativă (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Suma termenilor din secvența aritmetică este cunoscută ca seria aritmetică: S_n= a₁ + A₂ + A₃ + A₄ + ⋯ + a_n = Σ_{i = 1 → n} A_i; și S_n = (n / 2) (a₁ + A_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] dă valoarea seriei (S._n).

Mai multe despre secvența geometrică (Progresia geometrică)

O secvență geometrică este definită ca o secvență în care coeficientul oricăror doi termeni consecutivi este o constantă. Aceasta este, de asemenea, cunoscută ca progresie geometrică.

Secvența geometrică ⇒ a₁, A₂, A₃, A₄,… , A_n; unde un₂/A₁ = r, a₃/A₂ = r, și așa mai departe, unde r este un număr real.

Este mai ușor să reprezentăm secvența geometrică folosind raportul comun (r) și termenul inițial (a). De aici rezultă secvența geometrică ⇒ a₁, A₁r, a₁r², A₁r³,… , A₁r^n-1.

Forma generală a n^lea termeni dat de a_n = a₁r^n-1. (Pierderea indicelui termenului inițial ⇒ a_n = ar^n-1)

Secvența geometrică poate fi de asemenea finită sau infinită. Dacă numărul de termeni este finit, se spune că secvența este finită. Și dacă termenii sunt infinit, secvența poate fi infinită sau finită în funcție de raportul r. Raportul comun afectează multe dintre proprietățile din secvențele geometrice. 

r> o	0 < r < +1	Secvența converge - dezintegrarea exponențială, adică an → 0, n → ∞
	r = 1	Secvență constantă, adică an = constantă
	r> 1	Secvența diverge - creștere exponențială, adică an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Secvența este oscilantă, dar converge
	r = 1	Secvența este alternantă și constantă, adică an = ± constantă
	r < -1	Secvența este alternantă și diverge. adică an → ± ∞, n → ∞
r = 0	Secvența este un șir de zerouri

N.B: În toate cazurile de mai sus, a₁ > 0; în cazul în care un₁ < 0, the signs related to a_n vor fi inversate.

Intervalul de timp dintre bouncesul unei mingi urmează o secvență geometrică în modelul ideal și este o secvență convergentă.

Suma termenilor secvenței geometrice este cunoscută ca o serie geometrică; S_n = ar + ar² + Ar³ + ⋯ + arⁿ = Σ_{i = 1 → n} Ar^eu. Suma seriei geometrice poate fi calculată folosind următoarea formulă.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); unde a este termenul inițial și r este raportul.

Dacă raportul, r ≤ 1, seria converge. Pentru o serie infinită, valoarea convergenței este dată de S_n = a / (1-r) 

Care este diferența dintre secvența aritmetică și secvența geometrică / progresie?

• Într-o secvență aritmetică, oricare doi termeni consecutivi au o diferență comună (d), în timp ce, în secvență geometrică, oricare doi termeni consecutivi au un coeficient constant (r).

• Într-o secvență aritmetică, variația termenilor este liniară, adică o linie dreaptă poate fi trasă prin toate punctele. Într-o serie geometrică, variația este exponențială; fie în creștere, fie în funcție de raportul comun.

• Toate secvențele aritmetice infinite sunt divergente, în timp ce seria geometrică infinită poate fi divergentă sau convergentă.

• Seria geometrică poate prezenta oscilații dacă raportul r este negativ în timp ce seria aritmetică nu afișează oscilația