Diferența dintre diferențiere și derivat

Diferențiere vs. derivat
 

În calculul diferențial, derivatele și diferențierea sunt strâns legate, dar foarte diferite și folosite pentru a reprezenta două concepte matematice importante legate de funcții.

Ce este derivat?

Derivatul unei funcții măsoară rata la care valoarea funcției se modifică odată cu modificarea intrării acesteia. În funcțiile cu mai multe variabile, modificarea valorii funcției depinde de direcția schimbării valorilor variabilelor independente. Prin urmare, în astfel de cazuri, este aleasă o anumită direcție și funcția este diferențiată în direcția respectivă. Acest derivat se numește derivat direcțional. Derivații parțiali reprezintă un tip special de derivate direcționale.

Derivația unei funcții cu valoare vectorială f poate fi definită ca limită oriunde este finit. Așa cum am menționat mai înainte, acest lucru ne oferă rata de creștere a funcției f de-a lungul direcției vectorului u. În cazul unei funcții cu valoare unică, aceasta se reduce la definiția binecunoscută a derivatului,  

De exemplu, este peste tot diferențiabil, iar derivatul este egal cu limita, , care este egal cu . Derivații de funcții cum ar fi   există peste tot. Ele sunt, respectiv, egale cu funcțiile .                                                                                

Acesta este cunoscut ca primul derivat. De obicei, primul derivat al funcției f este marcat cu f ⁽¹⁾. Acum, folosind această notație, este posibil să se definească derivate de ordin superior. este derivatul direcțional de ordinul doi și denotă n^lea derivat de către f ⁽ⁿ⁾ pentru fiecare n, ,  definește n^lea derivat.

Ce este diferențierea?

Diferențierea este procesul de găsire a derivatului unei funcții diferențiate. Operatorul D indicat de D reprezintă diferențierea în anumite contexte. Dacă X este variabila independenta, atunci D ≡ ^d/_dx. Operatorul D este un operator liniar, adică pentru oricare două funcții diferențiate f și g și constantă c, urmărirea proprietăților.

eu.  D(f + g) = D(f) + D (g)

II.  D(cf) = CD(f )

Utilizând operatorul D, celelalte reguli asociate diferențierii pot fi exprimate după cum urmează. D(f g) = D(f ) g +f D(G) , D(^f/_g) = ^{[D(f ) g - f D(G)]}/_g² și D(f  o g) = (D(f) o g) D (g).

De exemplu, atunci când F (X) = X²păcat X este diferențiată în ceea ce privește X folosind regulile date, răspunsul va fi 2Xpăcat X -+ X²cosX.