Diferența dintre ecuațiile diferențiale liniare și neliniare

Ecuații diferențiale liniare vs. nelineare
 

O ecuație care conține cel puțin un coeficient diferențial sau un derivat al unei variabile necunoscute este cunoscută ca o ecuație diferențială. O ecuație diferențială poate fi liniară sau neliniară. Scopul acestui articol este de a explica ce este ecuația diferențială liniară, ce e ecuația diferențială neliniară și care este diferența dintre ecuațiile diferențiale lineare și neliniare.

De la dezvoltarea calculului în secolul al XVIII-lea de către matematicieni precum Newton și Leibnitz, ecuația diferențială a jucat un rol important în povestea matematicii. Ecuațiile diferențiale au o mare importanță în matematică din cauza gamei lor de aplicații. Ecuațiile diferențiale sunt în centrul fiecărui model pe care îl dezvoltăm pentru a explica orice scenariu sau eveniment din lume, fie că este vorba despre fizică, inginerie, chimie, statistică, analiză financiară sau biologie (lista este nesfârșită). De fapt, până când calculul a devenit o teorie stabilită, instrumentele matematice adecvate nu au fost disponibile pentru a analiza problemele interesante din natură.

Ecuațiile rezultate dintr-o aplicație specifică a calculului pot fi foarte complexe și uneori nu pot fi rezolvate. Cu toate acestea, există unele pe care le putem rezolva, dar pot părea asemănătoare și confuze. Prin urmare, pentru identificarea mai ușoară, ecuațiile diferențiale sunt clasificate prin comportamentul lor matematic. Liniar și neliniar este o astfel de categorizare. Este important să se identifice diferența dintre ecuațiile diferențiale liniare și neliniare.

Ce este o ecuație liniară diferențială?

Să presupunem că f: X → Y și f (x) = y, a ecuația diferențială fără termeni neliniari ai funcției necunoscute y și derivații săi sunt cunoscuți ca o ecuație diferențială liniară.

Aceasta impune condiția că y nu poate avea termeni de index mai mari, cum ar fi y², y³,... și multipli de derivate cum ar fi 

De asemenea, nu poate conține termeni neliniari, cum ar fi Sin y, e^{y^ -2}, sau ln y. Ea ia forma, 

Unde y și g sunt funcții de X. Ecuația este o ecuație diferențială de ordin n, care este indicele derivatului cu cea mai mare cotă.

Într-o ecuație diferențială liniară, operatorul diferențial este un operator liniar iar soluțiile formează un spațiu vectorial. Ca rezultat al naturii liniare a setului de soluții, o combinație liniară a soluțiilor este de asemenea o soluție la ecuația diferențială. Asta este, dacă y₁ și y₂ sunt soluții ale ecuației diferențiale, atunci C₁ y₁+ C₂ y₂ este, de asemenea, o soluție.

Linearitatea ecuației este doar un parametru al clasificării și poate fi în continuare clasificată în ecuații omogene sau neomogene și obișnuite sau parțiale diferențiale. Dacă funcția este g= 0 atunci ecuația este o ecuație diferențială omogenă liniară. Dacă f este o funcție a două sau mai multe variabile independente (f: X, T → Y) și f (x, t) = y , atunci ecuația este o ecuație diferențială liniară parțială.

Metoda soluției pentru ecuația diferențială depinde de tipul și coeficienții ecuației diferențiale. Cel mai ușor caz apare atunci când coeficienții sunt constanți. Un exemplu clasic pentru acest caz este cea de-a doua lege a mișcării Newton și diversele sale aplicații. Legea a doua a lui Newton produce o ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Ce este o ecuație diferențială neliniară?

Ecuațiile care conțin termeni neliniari sunt cunoscuți ca ecuații diferențiale neliniare.

 

Toate cele de mai sus sunt ecuații diferențiale neliniare. Ecuațiile diferențiale neliniare sunt dificil de rezolvat, prin urmare este necesar un studiu aprofundat pentru a obține o soluție corectă. În cazul ecuațiilor diferențiale parțiale, majoritatea ecuațiilor nu au o soluție generală. Prin urmare, fiecare ecuație trebuie tratată independent.

Ecuația lui Navier-Stokes și ecuația lui Euler în dinamica fluidelor, ecuațiile câmpului Einstein de relativitate generală sunt bine cunoscute ecuații diferențiale parțiale neliniare. Uneori, aplicarea ecuației Lagrange la un sistem variabil poate avea ca rezultat un sistem de ecuații diferențiale parțiale neliniare.

Care este diferența dintre ecuațiile diferențiale liniare și neliniare?

• O ecuație diferențială, care are doar termenii liniari ai variabilei necunoscute sau dependente și derivatele acesteia, este cunoscută ca o ecuație diferențială liniară. El nu are termen cu variabila dependentă de indice mai mare de 1 și nu conține niciun multiplu al derivatelor sale. Nu poate avea funcții neliniare, cum ar fi funcțiile trigonometrice, funcția exponențială și funcțiile logaritmice în raport cu variabila dependentă. Orice ecuație diferențială care conține termenii menționați mai sus este o ecuație diferențială neliniară.

• Soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare creează spațiu vectorial iar operatorul diferențial este, de asemenea, un operator liniar în spațiul vectorial.

• Soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare sunt relativ mai ușoare și există soluții generale. Pentru ecuațiile neliniare, în majoritatea cazurilor, soluția generală nu există și soluția poate fi specifică problemei. Aceasta face ca soluția să fie mult mai dificilă decât ecuațiile liniare.