Diferența între ortogonală și ortonormală

Ortogonal vs Orthonormal

În matematică, cele două cuvinte ortogonale și ortonormale sunt frecvent utilizate împreună cu un set de vectori. Aici, termenul "vector" este folosit în sensul că este un element al unui spațiu vectorial - o structură algebrică folosită în algebra liniară. Pentru discuția noastră, vom lua în considerare un spațiu interior-produs - un spațiu vectorial V împreună cu un produs interior [] definit pe V.

De exemplu, pentru un produs interior, spațiul este setul tuturor vectorilor de poziție tridimensionali împreună cu produsul punctual obișnuit.

Ce este ortogonal?

Un subset neimplicat S a spațiului interior al produsului V se spune că este ortogonală, dacă și numai dacă pentru fiecare distinct u, v în S, [u, v] = 0; adică produsul interior al u și v este egal cu scalar zero în spațiul interior al produsului.

De exemplu, în mulțimea tuturor vectorilor de poziție tridimensionali, aceasta este echivalentă cu a spune că, pentru fiecare pereche distinctă de vectori de poziție p și q în S, p și q sunt perpendiculare unele pe altele. (Amintiți-vă că produsul interior din acest spațiu vectorial este produsul punctului. De asemenea, produsul punct al celor două vectori este egal cu 0 dacă și numai dacă cei doi vectori sunt perpendiculari unul pe altul.)

Luați în considerare setul S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), care este un subset al vectorilor de poziție tridimensionali. Observați că (0,2,0) (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Prin urmare, setul S este ortogonal. În special, se spune că doi vectori sunt ortogonali dacă produsul lor interior este 0. Prin urmare, fiecare pereche de vectori în Seste ortogonal.

Ce este orthonormal?

Un subset neimplicat S a spațiului interior al produsului V se spune că este ortonormal dacă și numai dacă S este ortogonală și pentru fiecare vector u în S, [u, u] = 1. Prin urmare, se poate observa că fiecare set ortonormal este ortogonal, dar nu invers.

De exemplu, în mulțimea tuturor vectorilor de poziție tridimensionali, aceasta este echivalentă cu a spune că, pentru fiecare pereche distinctă de vectori de poziție p și q în S, p și q sunt perpendiculare între ele și pentru fiecare p în S, | P | = 1. Aceasta se datorează condiției [p, p] = 1 se reduce la p.p = | p || p |cos0 = | P |²= 1, care este echivalentă cu | P | = 1. De aceea, dat fiind un set ortogonal putem forma întotdeauna un set ortonormal corespunzător prin împărțirea fiecărui vector cu magnitudinea lui.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) este un subset ortonormal al mulțimii tuturor vectorilor de poziție tridimensionali. Este ușor de observat că a fost obținut prin împărțirea fiecărui vector în set S, prin magnitudinea lor.

Care este diferența dintre ortogonală și ortonormală?

• Un subset neimplicat S a spațiului interior al produsului V se spune că este ortogonală, dacă și numai dacă pentru fiecare distinct u, v în S, [u, v] = 0. Cu toate acestea, este orthonormal, dacă și numai dacă o condiție suplimentară - pentru fiecare vector u în S, [u, u] = 1 este îndeplinită.
• Orice set ortonormal este ortogonal, dar nu invers.
• Orice set ortogonal corespunde unui set ortonormal unic, dar un set ortonormal poate corespunde mai multor seturi ortogonale.