Diferența dintre seria de putere și seria Taylor
Share
Seria de serii vs seria Taylor
În matematică, o secvență reală este o listă ordonată de numere reale. Formal, aceasta este o funcție de la setul de numere naturale la setul de numere reale. Dacă Aneste atuncilea termenul unei secvențe, indicăm secvența prin sau prin A1, A2,… ,An,... De exemplu, ia în considerare secvența 1, ½, ⅓, ... , 1/n,.... Poate fi notat ca 1 / n.
Este posibil să definiți o serie folosind secvențe. O serie este suma termenilor unei secvențe. Prin urmare, pentru fiecare secvență, există o secvență asociată și invers. În cazul în care unn este secvența luată în considerare, atunci seria formată de acea secvență poate fi reprezentată ca:
Astfel, în exemplul de mai sus, seria asociată este 1+1/2+1/3+... + 1/n +... .
După cum sugerează și numele, seria de putere este un tip special de serie și este folosită pe larg în analiza numerică și modelarea matematică asociată. Seria Taylor este o serie specială de putere care oferă o modalitate alternativă și ușor de manipulat de a reprezenta funcții bine-cunoscute.
Ce este seria Power?
O serie de putere este o serie de formă
care este convergent (posibil) pentru un interval de timp centrat la c. Coeficienții An pot fi numere reale sau complexe și sunt independente de X; adică. variabila dummy.
De exemplu, prin setare An= 1 pentru fiecare n, și c = 0, seria de putere 1 + x + x2+... + xn+… este obținut. Este ușor de observat că atunci când x ε (-1,1), această serie de putere converge la 1 / (1-x).
O serie de putere converge când X = c. Celelalte valori ale X pentru care convergurile seriei de putere vor lua întotdeauna forma unui interval deschis, centrat la c. Acesta este, va exista o valoare 0≤ R ≤ ∞ astfel încât pentru fiecare X satisface | x-c | ≤R, seria de putere este convergentă și pentru fiecare X satisfăcător | x-c |>R, seria de putere este divergentă. Această valoare R se numește raza de convergență a seriilor de putere (R poate lua orice valoare reală sau infinit pozitiv).
Serii de putere pot fi adăugate, scăzute, înmulțite și împărțite folosind următoarele reguli. Luați în considerare cele două serii de putere:
.
Atunci,
adică. termenii asemănători se adaugă sau se scad împreună. De asemenea, este posibil să se înmulțească și să se împartă cele două serii de putere utilizând identitatea,
Ce este seria Taylor??
Seria Taylor este definită pentru o funcție f(X) care este infinit de diferențiat pe un interval. presupune f(X) este diferențiat pe un interval centrat la c. Apoi, seria de putere care este dată de
se numeste extinderea seriei Taylor a functiei f(X) despre c. (Aici f(N)(c) Denotă nlea derivat la X = c). În Analiza numerică, un număr finit de termeni în această extindere infinită se utilizează la calcularea valorilor la punctele în care seria este convergentă la funcția inițială.
O functie f(X) se spune că este analitic în intervalul (a, b), dacă pentru fiecare x ε (a, b), seria Taylor de f(X) converge la funcție f(X). De exemplu, 1 / (1-x) este analitic la (-1,1), deoarece expansiunea lui Taylor 1 + x + x2+... + xn+... converge la funcția din acel interval, și eX este analitică peste tot, din moment ce seria Taylor eXconverg la eX pentru fiecare număr real X.
Care este diferența dintre seria Power și seria Taylor?
1. Seria Taylor este o clasă specială de serii de putere definită doar pentru funcții care sunt infinit de diferențiate pe un anumit interval deschis.
2. Seria Taylor ia forma speciala
în timp ce o serie de putere poate fi orice serie a formei
