Cum să găsiți asimptote orizontale

Ce este o asimptote orizontală

O asimptotă este o linie sau o curbă care devine în mod arbitrar aproape de o curbă dată. Cu alte cuvinte, este o linie apropiată de o curbă dată, astfel încât distanța dintre curbă și linie se apropie de zero când curba atinge valori mai mari / mai mici. Regiunea curbei cu asimptote este asimptotică. Asimptotele sunt adesea găsite în funcții de rotație, funcție exponențială și funcții logaritmice. Asymptote paralel cu axa x este cunoscută ca o axă orizontală. 

Cum să găsiți asimptote orizontale

Există o asimptotă dacă funcția unei curbe satisface următoarea condiție. Dacă f (x) este curba, atunci există o asimptote orizontală dacă ,

Apoi asimptote orizontale există cu ecuația = C. Dacă funcția se apropie de valoarea finită (C) la infinit, funcția are o asimptote la acea valoare și ecuația unei asimptote este y = C. O curbă poate intersecta această linie în mai multe puncte, dar devine asimptotică pe măsură ce se apropie de infinit.

Pentru a găsi asimptotul unei funcții date, găsiți limitele la infinit.

Găsirea asimptotelor orizontale - Exemple

• Funcțiile exponențiale ale formei f (x) = a^X și [a> 0]

Funcțiile exponențiale sunt cele mai simple exemple de asimptote orizontale.

Luând în considerare limitele funcției la infinitele pozitive și negative, lim_{x → -∞} A^X = + ∞ și lim_{x → -∞} A^X = 0. Limita dreaptă nu este un număr finit și tinde spre infinit pozitiv, dar limita stângă se apropie de valorile finite 0.

Prin urmare, putem spune că funcția exponențială f (x) = a^X are o asimptotă orizontală la 0. Ecuația liniei de asimptote este y = 0, care este, de asemenea, axa x. Deoarece a este un număr pozitiv, putem considera acest lucru ca fiind un rezultat general.

Atunci când a = e = 2.718281828, funcția este, de asemenea, cunoscută ca funcția exponențială. f (x) = e^X are caracteristici specifice și, prin urmare, important în matematică.

• Funcții raționale

O funcție a formei f (x) = h (x) / g (x) unde h (x), g (x) este polinomiale și g (x) ≠ 0, este cunoscută ca o funcție rațională. Funcția rațională poate avea asimptote verticale și orizontale.

i. Luați în considerare funcția f (x) = 1 / x

Funcția f (x) = 1 / x are ambele asimptote verticale și orizontale.  
Pentru a găsi asimptotele orizontale găsiți limitele la infinit.
 lim_{x →}= + ∞ 1 / x = 0⁺ și lim_{x →}= -∞ 1 / x = 0^-
Atunci când x → + ∞, funcția se apropie 0 de partea pozitivă și atunci când funcția x → = -∞ se apropie 0 de direcția negativă.
Deoarece funcția are o valoare finită 0 când se apropie de infinități, putem deduce că asimptota este y = 0.

ii. Luați în considerare funcția f (x) = 4x / (x²+1)

Din nou găsiți limitele la infinit pentru a determina asimptotul orizontal.

Din nou, funcția are asymptote y = 0, de asemenea în acest caz funcția intersectează linia de asimptote la x = 0

iii. Luați în considerare funcția f (x) = (5x²+1) / (x²+1)

Luând limitele la infinit dă,

Prin urmare, funcția are limite finite la 5. Astfel, asimptota este y = 5