Diferența dintre numerele raționale și iraționale

Termenul "numere" ne aduce în minte ceea ce este în general clasificat ca valori întregi pozitive mai mari decât zero. Alte clase de numere includ numere întregi și fracțiunile, complex și numere reale Si deasemenea valori negative întregi.

Extinzând mai departe clasificările numerelor, ne întâlnim raţional și iraţional numere. Un număr rațional este un număr care poate fi scris ca o fracțiune. Cu alte cuvinte, numărul rațional poate fi scris ca un raport de două numere.

Luați în considerare, de exemplu, numărul 6. Acesta poate fi scris ca raportul dintre două numere viz. 6 și 1, ceea ce duce la raportul 6/1. De asemenea, 2/3, care este scrisă ca o fracțiune, este un număr rațional.

Astfel, putem defini un număr rațional, ca număr scris sub forma unei fracții, în care atât numerotatorul (numărul de sus) cât și numitorul (numărul din partea de jos) sunt numere întregi. Prin definiție, prin urmare, fiecare număr întreg este, de asemenea, un număr rațional.

Un raport de două numere mari, cum ar fi (129367871)/(547724863) ar reprezenta, de asemenea, un exemplu de număr rațional pentru simplul motiv că atât numerotatorul, cât și numitorul sunt numere întregi.

În schimb, orice număr care nu poate fi exprimat sub forma unei fracții sau a unui raport este numit irațional. Exemplul cel mai frecvent citat al unui număr irațional este √2 (1.414213...). Un alt exemplu popular al unui număr irațional este constanta numerică π (3.141592 ... ).

Un număr irațional poate fi scris ca zecimal, dar nu ca o fracție. Numerele iraționale nu sunt adesea folosite în viața de zi cu zi, deși există pe linia numerică. Există un număr infinit de numere iraționale între 0 și 1 pe linia numerică. Un număr irațional are cifre care nu se repetă în dreapta punctului zecimal.

Rețineți că valoarea citată de mai sus 22/7 pentru constanta π este de fapt doar una dintre valorile lui π. Prin definiție, circumferința unui cerc împărțită de raza de două ori a lui este valoarea lui π. Acest lucru duce la valori multiple de π, incluzand dar fara a se limita la, 333/106, 355/113 și așa mai departe1.

Numai rădăcinile pătrate ale numerelor pătrate; adică rădăcinile pătrate ale patrate perfecte sunt raționale.

√1= 1 (Raţional)

√2 (Iraţional)

√3 (Iraţional)

√4 = 2 (Raţional)

√5, √6, √7, √8 (Iraţional)

√9 = 3 (Rational) și așa mai departe.

Mai mult, observăm că numai nrădăcini de nputerile sunt raționale. Astfel, a 6- rădăcină de 64 este rațională, pentru că 64 este a a 6- putere, și anume a 6- puterea de 2. Cu exceptia a 6- rădăcină de 63 este irațional. 63 nu este perfect 6lea putere.

Inevitabil, reprezentarea zecimală a iraționalilor intră în imagine și prezintă câteva rezultate interesante.

Când exprimăm a raţional numărul ca zecimal, atunci va fi fie zecimală exact (ca în 1/5= 0,20) sau va fi inexact (ca în, 1/3 ≈ 0.3333). În ambele cazuri, va exista un model previzibil de cifre. Rețineți că atunci când iraţional numărul este exprimat ca zecimal, apoi în mod clar va fi inexact, deoarece altfel numărul ar fi rațional.

În plus, nu va exista un model previzibil de cifre. De exemplu,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Acum, cu numere raționale, ne întâlnim ocazional 1/11 = 0,0909090.

Utilizarea semnului egal (=) și trei puncte (elipsă) implică faptul că, deși nu este posibil să se exprime 1/11 exact ca o zecimală, putem încă să o aproximăm cu câte cifre zecimale cât este permis să se apropie de 1/11.

Astfel, forma zecimală a 1/11 este considerat inexact. În același mod, formularul zecimal de  ¼ care este de 0,25, este exactă.

Venind în forma zecimală pentru numere iraționale, ele vor fi mereu inexacte. Continuând cu exemplul √2, când scriem √2 = 1,41421356237... (notați utilizarea elipsei), înseamnă imediat că nu este zecimal pentru √2 va fi exact. În plus, nu va exista un model previzibil de cifre. Folosind concepte din metode numerice, din nou, putem aproxima rațional cifrele zecimale până la un punct în care suntem aproape de √2.

Orice notă despre numerele raționale și iraționale nu se poate termina fără dovada obligatorie a motivului pentru care √2 este irațional. În acest fel, elucidăm, de asemenea, exemplul clasic de a dovada prin contradiction.

Să presupunem că √2 este rațional. Aceasta ne determină să o reprezentăm ca un raport de doi numere întregi, să zicem p și q.

√2 = p / q

Inutil să spun, p și q nu au factori comuni, pentru că dacă ar exista factori comuni, l-am fi anulat de la numitor și numitor.

Squaring ambele părți ale ecuației, vom ajunge cu,

2 = p2 / q2

Acest lucru poate fi scris convenabil ca,

p2 = 2q2

Ultima ecuație sugerează acest lucru p2 este chiar. Acest lucru este posibil numai dacă p ea însăși este chiar. Acest lucru implică, la rândul său, acest lucru p2 este divizibil prin 4. prin urmare, q2 si in consecinta q trebuie să fie echilibrat. Asa de p și q ambele sunt chiar o contradicție cu ipoteza noastră inițială că nu au factori comuni. Prin urmare, √2 nu poate fi rațională. Q.E.D.