Diferența dintre asociativ și comutativ
Share
Asociativ vs comutativ
În viața de zi cu zi, trebuie să folosim numere ori de câte ori avem nevoie pentru a obține o măsură de ceva. În magazinul alimentar, la benzinărie și chiar în bucătărie, trebuie să adăugăm, să scădem și să înmulțim două sau mai multe cantități. Din practica noastră, efectuăm aceste calcule fără efort. Nu observăm niciodată și nu ne întrebăm de ce facem aceste operațiuni în acest mod special. Sau de ce aceste calcule nu pot fi făcute într-un mod diferit. Răspunsul este ascuns în modul în care aceste operații sunt definite în câmpul matematic al algebrei.
În algebră, o operație care implică două cantități (cum ar fi adăugarea) este definită ca o operație binară. Mai exact, este vorba de o operație între două elemente dintr-un set și aceste elemente se numesc "operand". Multe operații în matematică, inclusiv operațiile aritmetice menționate mai sus, și cele întâlnite în teoria seturilor, algebra liniară și logica matematică pot fi definite ca operații binare.
Există un set de reguli de guvernare care se referă la o operație binară specifică. Proprietățile asociative și comutative sunt două proprietăți fundamentale ale operațiilor binare.
Mai multe despre Proprietatea Comutativă
Să presupunem că o anumită operație binară, marcată de simbolul ⊗, este efectuată asupra elementelor A și B. Dacă ordinea operanzilor nu afectează rezultatul operației, operația se consideră a fi comutativă. adică dacă A ⊗ B = B ⊗ A atunci operația este comutativă.
Adunarea și multiplicarea operațiilor aritmetice sunt comutative. Ordinea numerelor adăugate sau înmulțite împreună nu afectează răspunsul final:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Dar în cazul schimbării divizării în ordine se dă reciprocitatea celeilalte, iar în scădere schimbarea dă negativul celeilalte. Prin urmare,
A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 și 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0.8 și 5 ÷ 4 = 1.25 [în acest caz A,B ≠ 1 și 0]
De fapt, scăderea se spune că este anti-comutativă; Unde A - B = - (B - A).
De asemenea, conexiunile logice, conjuncția, disjuncția, implicarea și echivalența sunt, de asemenea, comutative. Funcțiile adevărului sunt, de asemenea, comutative. Unitatea de operațiuni setată și intersecția sunt comutative. Adăugarea și produsul scalar al vectorilor sunt, de asemenea, comutative.
Dar scăderea vectorului și produsul vector nu este comutativă (produsul vector al doi vectori este anti-comutativ). Adunarea matricei este comutativă, dar multiplicarea și scăderea nu sunt comutative. (Înmulțirea a două matrici poate fi comutativă în cazuri speciale, cum ar fi multiplicarea unei matrice cu matricea ei inversă sau de identitate, dar cu siguranță matricile nu sunt comutative dacă matricile nu au aceeași dimensiune)
Mai multe despre proprietatea asociativă
Se consideră că o operație binară este asociativă dacă ordinea executării nu afectează rezultatul când sunt prezente două sau mai multe apariții ale operatorului. Luați în considerare elementele A, B și C și operația binară ⊗. Se spune că operația ⊗ este asociativă dacă
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Din funcțiile aritmetice de bază, doar adunarea și multiplicarea sunt asociative.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Scăderea și împărțirea nu sunt asociative;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 și (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 și (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Conjunctiile logice, disjunctia, conjunctia si echivalenta sunt asociative, precum si unirea si intersectia operatiilor stabilite. Matricea și adăugarea vectorilor sunt asociative. Produsul scalar al vectorilor este asociativ, dar produsul vectorial nu este. Înmulțirea matricii este asociativă numai în circumstanțe speciale.
Care este diferența dintre proprietățile comutative și asociative?
• Atât proprietatea asociativă cât și proprietatea comutativă sunt proprietăți speciale ale operațiunilor binare, iar altele le satisface, iar altele nu.
• Aceste proprietăți pot fi văzute în multe forme de operații algebrice și alte operații binare în matematică, cum ar fi intersecția și unirea în teoria seturilor sau conexiunile logice.
• Diferența dintre comutativă și asociativă este aceea că proprietatea comutativă afirmă că ordinea elementelor nu schimbă rezultatul final în timp ce statutul de proprietate asociativă, că ordinea în care este efectuată operația, nu afectează răspunsul final.
