Diferența dintre derivat și diferențial

Derivat vs Diferențial
 

În calculul diferențial, derivatul și diferențialul unei funcții sunt strâns legate, dar au semnificații foarte diferite și sunt folosite pentru a reprezenta două obiecte matematice importante legate de funcții diferențiate.

Ce este derivat?

Derivatul unei funcții măsoară rata la care valoarea funcției se modifică odată cu modificarea intrării acesteia. În funcțiile cu mai multe variabile, modificarea valorii funcției depinde de direcția schimbării valorilor variabilelor independente. Prin urmare, în astfel de cazuri, este aleasă o anumită direcție și funcția este diferențiată în direcția respectivă. Acest derivat se numește derivat direcțional. Derivații parțiali reprezintă un tip special de derivate direcționale.

Derivația unei funcții cu valoare vectorială f poate fi definită ca limită oriunde este finit. Așa cum am menționat mai înainte, acest lucru ne oferă rata de creștere a funcției f de-a lungul direcției vectorului u. În cazul unei funcții cu valoare unică, aceasta se reduce la definiția binecunoscută a derivatului,  

De exemplu, este peste tot diferențiabil, iar derivatul este egal cu limita, , care este egal cu . Derivații de funcții cum ar fi   există peste tot. Ele sunt, respectiv, egale cu funcțiile .                                                                                

Acesta este cunoscut ca primul derivat. De obicei, primul derivat al funcției f este marcat cu f ⁽¹⁾. Acum, folosind această notație, este posibil să se definească derivate de ordin superior. este derivatul direcțional de ordinul doi și denotă n^lea derivat de către f ⁽ⁿ⁾ pentru fiecare n, ,  definește n^lea derivat.

Ce este diferențial?

Diferențialul unei funcții reprezintă schimbarea funcției cu privire la variațiile variabilei sau variabilelor independente. În notația obișnuită, pentru o funcție dată f a unei singure variabile X, diferența totală a ordinului 1 df este dat de, . Aceasta înseamnă că pentru o schimbare infinitezimală în X(adică dX), va fi o  f ⁽¹⁾(X) dX schimba in f.

Folosind limitele se poate ajunge la această definiție după cum urmează. Să presupunem ΔX este schimbarea în X la un punct arbitrar X și Δf este schimbarea corespunzătoare a funcției f. Se poate arăta că Δf = f ⁽¹⁾(X) ΔX+ ε, unde ε este eroarea. Acum, limita Δx →0^Δf/_ΔX= f ⁽¹⁾(X) (folosind definiția definită anterior a derivatului) și astfel, Δx →0^ε/_ΔX= 0. Prin urmare, se poate concluziona că, Δx →0ε = 0. Acum, denotând Δx →0 Δf ca df și Δx →0 ΔX ca dX definiția diferențialului este obținută în mod riguros. 

De exemplu, diferența dintre funcție este .

În cazul funcțiilor a două sau mai multe variabile, diferența totală a unei funcții este definită ca suma diferențialelor în direcțiile fiecăreia dintre variabilele independente. Din punct de vedere matematic, se poate afirma ca .