Diferența dintre funcția discretă și funcția continuă

Funcția discretă față de funcția continuă

Funcțiile reprezintă una dintre cele mai importante clase de obiecte matematice, care sunt utilizate pe scară largă în aproape toate domeniile matematice. Dat fiind că numele lor sugerează atât funcții discrete cât și funcții continue, există două tipuri speciale de funcții.

O funcție este o relație între două seturi definite astfel încât pentru fiecare element din primul set, valoarea care o corespunde în al doilea set este unică. Lăsa f fi o funcție definită din set A în set B. Apoi pentru fiecare xε. A, simbolul f(x) reprezintă valoarea unică din set B care corespunde cu x. Se numește imaginea lui x sub f. Prin urmare, o relație f de la A la B este o funcție, dacă și numai dacă pentru fiecare xε A și y ε A; dacă x = y atunci f(X) = f(Y). Setul A se numește domeniul funcției f, și este setul în care funcția este definită.

De exemplu, ia în considerare relația f de la R la R definit de f(x) = x + 2 pentru fiecare xε A. Aceasta este o funcție a cărei domeniu este R, ca și pentru fiecare număr real x și y, x = y implică f(x) = x + 2 = y + 2 = f(Y). Dar relația g de la N la N definit prin g(x) = a, unde 'a' este un prim factor al lui x nu este o funcție ca g(6) = 3, precum și g(6) = 2.

Ce este o funcție discretă?

O funcție discretă este o funcție a cărei domeniu este cel mult numărare. Pur și simplu, acest lucru înseamnă că este posibilă crearea unei liste care include toate elementele domeniului.

Orice set finit este cel mult numărare. Setul de numere naturale și setul de numere raționale sunt exemple pentru cele mai multe seturi infinite de numărare. Setul de numere reale și setul de numere iraționale nu sunt cel mult numărate. Ambele seturi sunt necunoscute. Aceasta înseamnă că este imposibil să faceți o listă care să includă toate elementele acelor seturi.

Una dintre cele mai comune funcții discrete este funcția factorială. f : N U 0 → N definit recursiv de către f(n) = nf(n-1) pentru fiecare n ≥ 1 și f(0) = 1 se numește funcția factorială. Observați că domeniul său N U 0 este cel mult de numărare.

Ce este o funcție continuă?

Lăsa f fi o funcție astfel încât pentru fiecare k în domeniul lui f, f(X) →f(k) ca x → k. Atunci feste o funcție continuă. Aceasta înseamnă că este posibil să se facă f(x) aproape în mod arbitrar f(k) făcând x suficient de aproape de k pentru fiecare k din domeniul lui f.

Luați în considerare funcția f(x) = x + 2 pe R. Se poate observa ca x → k, x + 2 → k + 2 care este f(X) →f(K). Prin urmare, f este o funcție continuă. Acum, ia în considerare g pe numere reale pozitive g(x) = 1 dacă x> 0 și g(x) = 0 dacă x = 0. Apoi, această funcție nu este o funcție continuă ca limită de g(x) nu există (și prin urmare nu este egal cu g(0)) ca x → 0.