Diferența dintre integrare și sumare

Integrare vs. sumare
 

În matematica de liceu de mai sus, integrarea și sumarea sunt adesea descoperite în operațiile matematice. Ele sunt aparent folosite ca instrumente diferite și în situații diferite, dar au o relație foarte strânsă.

Mai multe despre Summation

Suma este operația de adăugare a unei secvențe de numere, iar operația este adesea indicată prin litera greacă a capitalului sigma Σ. Este folosit pentru a abrevieri sumare și egal cu suma / totalul secvenței. Ele sunt adesea folosite pentru a reprezenta seria, care în esență sunt secvențe infinite sumarizate. Ele pot fi, de asemenea, folosite pentru a indica suma vectorilor, matricelor sau polinomilor.

Sumarea este de obicei făcută pentru o serie de valori care pot fi reprezentate de un termen general, cum ar fi o serie care are un termen comun. Punctul de pornire și punctul final al sumării sunt cunoscute sub numele de limita inferioară și limita superioară a sumării.

De exemplu, suma secvenței a₁, A₂, A₃, A₄, … , A_n este a₁ + A₂ + A₃ +... + a_n care pot fi ușor reprezentate folosind notația de însumare ca Σⁿ_{i = 1} A_eu; i este numit indicele de sumare.

Multe variații sunt utilizate pentru sumare bazate pe aplicație. În unele cazuri, limita superioară și cea inferioară pot fi date ca un interval sau un interval, cum ar fi Σ_1≤i≤100 A_eu și Σ_{i∈ [1100]} A_eu. Sau poate fi dat ca un set de numere precum Σ_i∈P A_eu , unde P este un set definit.

În unele cazuri, pot fi utilizate două sau mai multe semne sigma, dar ele pot fi generalizate după cum urmează; Σ_j Σ_k A_jk = Σ_{j, k} A_jk.

De asemenea, sumarea urmează multe reguli algebrice. Deoarece operația încorporată este adăugarea, multe dintre regulile comune ale algebrei pot fi aplicate sumelor în sine și pentru termenii individuali descriși de sumare.

Mai multe despre integrare

Integrarea este definită ca fiind procesul invers de diferențiere. Dar, în perspectiva sa geometrică, ea poate fi de asemenea considerată ca fiind zona închisă de curba funcției și a axei. Prin urmare, calculul zonei dă valoarea unui integrat definit așa cum este arătat în diagramă.

Sursa imaginii: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Valoarea integratului definit este de fapt suma miezurilor mici din interiorul curbei și axei. Zona fiecărei benzi este înălțimea × lățimea în punctul de pe axa luată în considerare. Lățimea este o valoare pe care o putem alege, spune Δx. Și înălțimea este aproximativ valoarea funcției la punctul considerat, să zicem f(X_eu). Din diagrama, este evident că cu cât fâșiile mai mici sunt mai bine fâșiile se potrivesc în interiorul zonei delimitate, de aici o aproximare mai bună a valorii.

Deci, în general, integrale definitiv eu, între punctele a și b (adică în intervalul [a, b] unde aeu ≅ f(X₁) Ax + f(X₂) Δx + ⋯ + f(X_n) Δx, unde n este numărul de fâșii (n = (b-a) / Δx). Această sumare a zonei poate fi ușor reprezentată utilizând notația de însumare ca eu ≅ Σⁿ_{i = 1} f(X_eu) Ax. Deoarece aproximarea este mai bună atunci când Δx este mai mică, putem calcula valoarea atunci când Δx → 0. Prin urmare, este rezonabil să spunem eu = lim_{→ 0 Ax} Σⁿ_{i = 1} f(X_eu) Ax.

Ca o generalizare din conceptul de mai sus, putem alege Δx pe baza intervalului considerat indexat de i (alegerea lățimii zonei pe baza poziției). Atunci ajungem

eu= lim_{→ 0 Ax} Σⁿ_{i = 1} f(X_eu) Δx_eu = _A∫^b f(X) dx

Aceasta este cunoscută ca Reimann Integral a funcției f(x) în intervalul [a, b]. În acest caz a și b sunt cunoscute ca limita superioară și inferioară a integrala. Reimann integral este o formă de bază a tuturor metodelor de integrare.

În esență, integrarea este sumarea zonei atunci când lățimea dreptunghiului este infinitezimală.

Care este diferența dintre Integrare și sumare?

• Sumarea este adăugarea unei secvențe de numere. De obicei, sumarea este dată în această formă Σⁿ_{i = 1} A_eu când termenii din secvență au un model și pot fi exprimați folosind un termen general.

• Integrarea este în principiu zona limitată de curba funcției, axa și limitele superioare și inferioare. Această zonă poate fi dată ca sumă de zone mult mai mici incluse în zona mărginită.

• Sumarea implică valorile discrete cu limitele superioare și inferioare, în timp ce integrarea implică valori continue.

• Integrarea poate fi interpretată ca o formă specială de sumare.

• În metodele de calcul numeric, integrarea este întotdeauna efectuată ca sumare.