Diferența dintre ecuația liniară și ecuația neliniară

Ecuația liniară vs. ecuația neliniară

În matematică, ecuațiile algebrice sunt ecuații, care sunt formate folosind polinoame. Când se scrie în mod explicit ecuațiile vor avea forma P (X) = 0, unde X este un vector de n variabile necunoscute și P este un polinom. De exemplu, P (x, y) = 4x⁵ + X y³ + y + 10 = 0 este o ecuație algebrică în două variabile scrise în mod explicit. De asemenea, (x + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ este o ecuație algebrică, dar în formă implicită și va lua forma Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, o dată scrisă în mod explicit.

O caracteristică importantă a unei ecuații algebrice este gradul acesteia. Se definește a fi cea mai mare putere a termenilor care apar în ecuație. Dacă un termen constă din două sau mai multe variabile, suma exponenților fiecărei variabile va fi considerată ca fiind puterea termenului. Observați că în conformitate cu această definiție P (x, y) = 0 este de grad 5, în timp ce Q (x, y, z) = 0 este de gradul 5.

Ecuațiile liniare și ecuațiile neliniare sunt o două partiție definită pe setul de ecuații algebrice. Gradul ecuației este factorul care le diferențiază unul de celălalt.

Ce este o ecuație liniară?

O ecuație liniară este o ecuație algebrică de gradul 1. De exemplu, 4x + 5 = 0 este o ecuație liniară a unei variabile. x + y + 5z = 0 și 4x = 3w + 5y + 7z sunt ecuații liniare de 3 și, respectiv, 4 variabile. În general, o ecuație liniară a variabilelor n va lua forma m₁X₁ + m₂X₂ +... + m_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Aici, x_eu's variabilele necunoscute, m_eu's și b sunt numere reale în care fiecare dintre m_eu este non-zero.

O astfel de ecuație reprezintă un plan hiper în spațiul n-dimensional euclidian. În particular, o ecuație liniară variabilă reprezintă o linie dreaptă în plan cartesian și o ecuație liniară variabilă 3 reprezintă un plan pe spațiul euclidian 3.

Ce este o ecuație neliniară?

O ecuație patratică este o ecuație algebrică, care nu este liniară. Cu alte cuvinte, o ecuație neliniară este o ecuație algebrică de gradul 2 sau mai mare. X² + 3x + 2 = 0 este o singură ecuație variabilă neliniară. X² + y³+ 3xy = 4 și 8yzx² + y² + 2Z² + x + y + z = 4 sunt exemple de ecuații neliniare de 3 și respectiv 4 variabile.

O ecuație neliniară de gradul doi este numită ecuație patratică. Dacă gradul este 3, atunci se numește o ecuație cubică. Ecuațiile de gradul 4 și gradul 5 se numesc ecuații quartice și quintice. Sa dovedit că nu există o metodă analitică de rezolvare a oricărei ecuații neliniare de gradul 5, și acest lucru este valabil și pentru un grad mai înalt. Ecuațiile neliniare solubile reprezintă suprafețe hiper, care nu sunt hiperplanuri.