Diferența dintre ecuația liniară și ecuația patratică

Ecuația liniară vs. ecuația patratică

În matematică, ecuațiile algebrice sunt ecuații care se formează folosind polinoame. Când se scrie în mod explicit ecuațiile vor avea forma P (X) = 0, unde X este un vector de n variabile necunoscute și P este un polinom. De exemplu, P (x, y) = x⁴ + y³ + X²y + 5 = 0 este o ecuație algebrică a două variabile scrise explicit. De asemenea, (x + y)³= 3x²y - 3zy⁴ este o ecuație algebrică, dar în formă implicită. Va lua forma Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy²+3zy⁴= 0, o dată scrisă în mod explicit.

O caracteristică importantă a unei ecuații algebrice este gradul acesteia. Se definește a fi cea mai mare putere a termenilor care apar în ecuație. Dacă un termen constă din două sau mai multe variabile, suma exponenților fiecărei variabile va fi considerată ca fiind puterea termenului. Observați că în conformitate cu această definiție P (x, y) = 0 este de grad 4 în timp ce Q (x, y, z) = 0 este de gradul 5.

Ecuațiile liniare și ecuațiile patratice sunt două tipuri diferite de ecuații algebrice. Gradul ecuației este factorul care le diferențiază de restul ecuațiilor algebrice.

Ce este o ecuație liniară?

O ecuație liniară este o ecuație algebrică de gradul 1. De exemplu, 4x + 5 = 0 este o ecuație liniară a unei variabile. x + y + 5z = 0 și 4x = 3w + 5y + 7z sunt ecuații liniare de 3 și, respectiv, 4 variabile. În general, o ecuație liniară a variabilelor n va lua forma m₁X₁ +m₂X₂ +... + m_n-1X_n-1 + m_nX_n = b. Aici, x_eu's variabilele necunoscute, m_eu's și b sunt numere reale în care fiecare dintre m_eu este non-zero.

O astfel de ecuație reprezintă un plan hiper în spațiul n-dimensional euclidian. În particular, o ecuație liniară variabilă reprezintă o linie dreaptă în plan cartesian și o ecuație liniară variabilă 3 reprezintă un plan pe spațiul euclidian 3.

Ce este o ecuație patratică?

O ecuație patratică este o ecuație algebrică de gradul al doilea. X² + 3x + 2 = 0 este o singură ecuație variabilă quadratică. X² + y² + 3x = 4 și 4x² + y² + 2Z² + x + y + z = 4 sunt exemple de ecuații patratice de 2 și respectiv 3 variabile.

În cazul variabil unic, forma generală a unei ecuații patrate este toporul² + bx + c = 0. În cazul în care a, b, c sunt numere reale din care "a" este diferită de zero. Discriminantul Δ = (b² - 4ac) determină natura rădăcinilor ecuației patrate. Rădăcinile ecuației vor fi reale distincte, reale similare și complexe, conform Δ fiind pozitive, zero și negative. Rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință utilizând formula x = (- b ± √Δ) / 2a.

În cazul celor două variabile, forma generală ar fi topor² + de² + cxy + dx + ex + f = 0 și aceasta reprezintă un conic (parabola, hiperbola sau elipsă) în planul cartezian. În dimensiuni mai mari, acest tip de ecuații reprezintă supra-suprafețe cunoscute sub numele de quadrics.