Diferența dintre funcția de distribuție a probabilității și probabilitatea densității

Funcția de distribuție a probabilității vs funcția de densitate a probabilității

Probabilitatea este probabilitatea unui eveniment să se întâmple. Această idee este foarte comună și este folosită frecvent în viața de zi cu zi atunci când ne evaluăm oportunitățile, tranzacția și multe alte lucruri. Extinderea acestui concept simplu la un set mai mare de evenimente este un pic mai dificilă. De exemplu, nu putem înțelege cu ușurință șansele de a câștiga o loterie, dar este convenabil, mai degrabă intuitiv, să spunem că există o probabilitate ca unul din șase să ajungem la numărul șase într-un zar aruncat.

Atunci când numărul de evenimente care pot avea loc devine din ce în ce mai mare sau numărul de posibilități individuale este mare, această idee destul de simplă de probabilitate nu reușește. Prin urmare, trebuie să i se dea o definiție matematică solidă, înainte de a se apropia de problemele cu o complexitate mai mare.

Când numărul de evenimente care pot avea loc într-o singură situație este mare, este imposibil să luați în considerare fiecare eveniment în mod individual, ca în exemplul zarurilor aruncate. Prin urmare, întregul set de evenimente este rezumat prin introducerea conceptului de variabilă aleatoare. Este o variabilă care poate presupune valorile diferitelor evenimente în situația respectivă (sau în spațiul eșantionului). Oferă un sens matematic evenimentelor simple în situație și modului matematic de abordare a evenimentului. Mai exact, o variabilă aleatoare este o funcție de valoare reală față de elementele spațiului eșantionului. Variabilele aleatoare pot fi fie discrete, fie continue. Acestea sunt de obicei marcate cu literele majuscule ale alfabetului englez.

Funcția de distribuire a probabilității (sau pur și simplu, distribuția de probabilități) este o funcție care atribuie valorile de probabilitate pentru fiecare eveniment; adică oferă o relație cu probabilitățile pentru valorile pe care le poate lua variabila aleatoare. Funcția de distribuție a probabilității este definită pentru variabile aleatoare discrete.

Funcția densității de probabilitate este echivalentul funcției de distribuție a probabilității pentru variabilele aleatorii continue, dă probabilitatea ca o anumită variabilă aleatorie să preia o anumită valoare.

Dacă X este o variabilă aleatoare discretă, funcția dată fiind f(X) = P(X = X) pentru fiecare X în intervalul de X se numește funcția de distribuție a probabilității. O funcție poate servi drept funcție de distribuție a probabilității dacă și numai dacă funcția îndeplinește următoarele condiții.

1. f(X) ≥ 0

2. Σ f(X) = 1

O functie f(X) care este definit peste setul de numere reale se numește funcția de densitate de probabilitate a variabilei aleatorii continue X, dacă și numai dacă,

P(A ≤ X ≤ b) = _A∫^b f(X) dx pentru orice constante reale A și b.

Funcția de densitate de probabilitate ar trebui să satisfacă și următoarele condiții.

1. f(X) ≥ 0 pentru toți X: -∞ < X < +∞

2. _-∞∫^+∞ f(X) dx = 1

Ambele funcții de distribuție a probabilității și funcția de densitate a probabilității sunt utilizate pentru a reprezenta distribuția probabilităților pe spațiul eșantionului. În mod obișnuit, acestea se numesc distribuții de probabilități.

Pentru modelarea statistică sunt derivate funcțiile standard de densitate de probabilitate și funcțiile de distribuție a probabilității. Distribuția normală și distribuția standard standard sunt exemple ale distribuțiilor de probabilități continue. Distribuția binomială și distribuția Poisson sunt exemple de distribuții de probabilități discrete.

Care este diferența dintre distribuția probabilității și probabilitatea densității?

• Funcția de distribuție a probabilității și funcția de densitate a probabilității sunt funcții definite în spațiul de eșantionare, pentru a atribui valoarea de probabilitate relevantă fiecărui element.

• Funcțiile de distribuție a probabilităților sunt definite pentru variabilele aleatoare discrete, în timp ce funcțiile densității de probabilitate sunt definite pentru variabilele aleatorii continue.

• Distribuția valorilor de probabilitate (adică distribuțiile de probabilități) este cel mai bine reprezentată de funcția de densitate a probabilității și de funcția de distribuție a probabilității.

• Funcția de distribuție a probabilității poate fi reprezentată ca valori într-un tabel, dar aceasta nu este posibilă pentru funcția de densitate a probabilității deoarece variabila este continuă.

• Când este reprezentat grafic, funcția de distribuție a probabilității dă o diagramă de bare, în timp ce funcția de densitate a probabilității dă o curbă.

• Înălțimea / lungimea barelor funcției de distribuție a probabilității trebuie adăugată la 1, în timp ce suprafața de sub curba funcției de densitate a probabilității trebuie adăugată la 1.

• În ambele cazuri, toate valorile funcției trebuie să fie ne-negative.