Diferența între variabilele aleatoare și distribuția probabilităților

Variabile aleatoare vs distribuție de probabilități

Experimentele statistice sunt experimente aleatorii care pot fi repetate pe o perioadă nedeterminată, cu un set cunoscut de rezultate. Ambele variabile aleatoare și distribuțiile de probabilități sunt asociate cu astfel de experimente. Pentru fiecare variabilă aleatoare, există o distribuție de probabilitate asociată definită de o funcție numită funcție de distribuție cumulativă.

Ce este o variabilă aleatoare??

O variabilă aleatoare este o funcție care atribuie valori numerice rezultatelor unui experiment statistic. Cu alte cuvinte, este o funcție definită din spațiul eșantion al unui experiment statistic în setul de numere reale.

De exemplu, luați în considerare un experiment aleatoriu de a răsturna o monedă de două ori. Rezultatele posibile sunt HH, HT, TH și TT (H - heads, T - povești). Fie variabila X numărul de capete observate în experiment. Apoi, X poate lua valorile 0, 1 sau 2 și este o variabilă aleatoare. Aici, variabila aleatoare X va mapa setul 0, 1, 2 S = HH, HT, TH, TT (spațiul de eșantionare) astfel încât HH este mapat la 2, HT și TH sunt mapate la 1 și TT este mapat la 0. În notația funcției, aceasta poate fi scrisă ca X: S → R unde X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 și X TT) = 0.

Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue, în consecință, numărul de valori posibile pe care o variabilă aleatoare poate să le presupună este cel mult de numărare sau nu. În exemplul anterior, variabila aleatoare X este o variabilă aleatoare discrete deoarece 0, 1, 2 este un set finit. Acum, ia în considerare experimentul statistic de a găsi greutățile elevilor dintr-o clasă. Fie Y variabila aleatoare definita ca greutatea unui student. Y poate lua orice valoare reală într-un anumit interval. Prin urmare, Y este o variabilă aleatorie continuă.

Ce este o distribuție a probabilităților?

Distribuția probabilităților este o funcție care descrie probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia anumite valori.

O funcție numită funcție de distribuție cumulativă (F) poate fi definită de la setul de numere reale la setul de numere reale ca F (x) = P (X ≤ x) (probabilitatea ca X să fie mai mică sau egală cu x) pentru fiecare rezultat posibil x. Acum, funcția de distribuție cumulativă a lui X în primul exemplu poate fi scrisă ca F (a) = 0, dacă a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

În cazul variabilelor aleatoare discrete, o funcție poate fi definită din setul de rezultate posibile la setul de numere reale astfel încât ƒ (x) = P (X = x) (probabilitatea ca X să fie egal cu x) pentru fiecare rezultat posibil x. Această funcție particulară ƒ se numește funcția de masă a probabilității variabilei aleatoare X. Acum, funcția de masă a probabilității X din primul exemplu particular poate fi scrisă ca ƒ (0) = 0.25, ƒ (1) = 0.5, ƒ (2) = 0.25 și ƒ (x) = 0 în caz contrar. Astfel, funcția de masă a probabilității împreună cu funcția de distribuție cumulativă va descrie distribuția de probabilități a lui X în primul exemplu.

În cazul variabilelor aleatorii continue, o funcție numită funcție de densitate a probabilității (ƒ) poate fi definită ca ƒ (x) = dF (x) / dx pentru fiecare x unde F este funcția de distribuție cumulativă a variabilei aleatorii continue. Este ușor de observat că această funcție satisface ∫ƒ (x) dx = 1. Funcția de densitate a probabilității împreună cu funcția de distribuție cumulativă descrie distribuția probabilității unei variabile aleatorii continue. De exemplu, distribuția normală (care este distribuția probabilității continue) este descrisă folosind funcția de densitate a probabilității ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-p)]²/ (2σ²)).