Diferența dintre Riemann Integral și Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrarea este un subiect principal în calcul. În sens intelectual, integrarea poate fi văzută ca un proces invers de diferențiere. Când se modelează problemele din lumea reală, este ușor să scrieți expresii care implică instrumente derivate. Într-o astfel de situație, operația de integrare este necesară pentru a găsi funcția, care a dat derivatul particular.

Din un alt unghi, integrarea este un proces, care rezumă produsul unei funcții ƒ (x) și δx, unde δx tinde să fie o anumită limită. De aceea, folosim simbolul de integrare ca ∫. Simbolul ∫ este, de fapt, ceea ce obținem prin întinderea literelor s pentru a se referi la sumă.

Riemann Integral

Luați în considerare o funcție y = ƒ (x). Integralul y dintre A și b, Unde A și b aparțin unui set x, este scris ca _b∫^Aƒ (x) dx = [F(X)]_A→b = F(b) - F(A). Aceasta se numește un integrat definit al funcției unice și continue, y = ƒ (x), între a și b. Aceasta conferă aria de sub curbă între A și b. Acest lucru este numit și Riemann integral. Riemann integral a fost creat de Bernhard Riemann. Integralul Riemann al unei funcții continue se bazează pe măsura Jordan, prin urmare, ea este de asemenea definită ca limita sumelor Riemann ale funcției. Pentru o funcție reală definită pe un interval închis, integramentul Riemann al funcției în raport cu o partiție x₁, X₂,… , X_n definită pe intervalul [a, b] și t₁, T₂,..., t_n, unde x_eu ≤ t_eu ≤ x_{i + 1} pentru fiecare i ε 1, 2, ..., n, suma Riemann este definită ca Σ_{i = o până la n-1} ƒ (t_eu)(X_{i + 1} - X_eu).

Lebesgue Integral

Lebesgue este un alt tip de integrare, care acoperă o mare varietate de cazuri decât Riemann face integral. Integratul lebesgue a fost introdus de Henri Lebesgue în 1902. Integrarea Legesgue poate fi considerată o generalizare a integrării Riemann.

De ce trebuie să studiem un alt element integrat?

Să luăm în considerare funcția caracteristică ƒ_{A (x) = 0 dacă, x nu ε}^{1 dacă, x ε A} pe un set A. Atunci combinația liniară finită a funcțiilor caracteristice, care este definită ca F(x) = Σ a_euƒE_eu(x) se numește funcția simplă dacă E_eu este măsurabil pentru fiecare i. Integralul Lebesgue din F(x) peste E este marcat cu _E∫ ƒ (x) dx. Functia F(x) nu este integrat de Riemann. Prin urmare, Lebesgue integral este reformulat integral Riemann, care are unele restricții asupra funcțiilor care trebuie integrate.