Cum se calculează probabilitatea binomică

Distribuția binomială este una dintre distribuțiile elementare de probabilitate pentru variabilele aleatoare discrete utilizate în teoria probabilităților și statistici. Acest nume este dat deoarece are coeficientul binomial implicat în fiecare calcul de probabilitate. Acesta cântărește numărul de combinații posibile pentru fiecare configurație.

Luați în considerare un experiment statistic, fiecare eveniment având două posibilități (succes sau eșec) și p probabilitatea de succes. De asemenea, fiecare eveniment este independent de celălalt. Un eveniment unic de această natură este cunoscut ca un proces Bernoulli. Distribuțiile binomiale sunt aplicate secvenței succesive a studiilor Bernoulli. Acum, să aruncăm o privire asupra metodei de a găsi probabilitatea binomică.

Cum să găsiți probabilități binomiale

 Dacă X este numărul de succese de la n (suma finală) studiile Bernoulli independente, cu probabilitatea de succes p, atunci probabilitatea de X succesele în experiment sunt date de,

ⁿC_X se numește coeficientul binomial.

X se spune că este distribuită binomial cu parametrii p și n, deseori desemnată de notația Bin (n, p).

Media și varianța distribuției binomiale sunt date în funcție de parametri n și p. 

Forma curbei de distribuție binomială depinde și de parametrii n și p. Cand n este mică, distribuția este aproximativ simetrică pentru valori p≈ 5 și foarte înclinat atunci când p este în intervalul 0 sau 1. Cand n este mare, distribuția devine mai netezită și simetrică, cu o înclinare observabilă când p este în intervalul extrem de 0 sau 1. În următoarea diagramă, axa x reprezintă numărul de încercări, iar axa y dă probabilitatea. 

  Cum se calculează probabilitatea binomică - Exemple

1. Dacă o monedă părtinitoare este aruncată de 5 ori succesiv și șansa de succes este de 0,3, găsiți probabilitățile în următoarele instanțe.

A) P (X = 5) b) P (X) ≤ 4 c) P (X) < 4

d) Media distribuției

e) Variația distribuției

Din detaliile experimentelor putem deduce că distribuțiile de probabilități sunt binomiale în natură cu 5 studii succesive și independente cu probabilitate de succes 0.3.Prin urmare, n = 5 și p = 0.3. 

A) P (X = 5) = probabilitatea de a obține succese (capete) pentru toate cele cinci studii

     P (X = 5) = ⁵C₅ (0,3)⁵ (1 - 0,3)^{5 - 5} = 1 × (0,3)⁵ × (1) = 0,00243

b) P (X) ≤ 4 = probabilitatea de a obține patru sau mai puține succese în timpul experimentului 

      P (X) ≤ 4 = 1-P (X = 5) = 1-0,00243 = 0,99757

c)  P (X) < 4 = probability of getting less than four successes

      P (X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

Pentru a calcula probabilitatea binomică de a obține doar patru succese (P (X) = 4) avem,

   P (X = 4) = ⁵C₄ (0,3)⁴ (1 - 0,3)^5-4 = 5 × 0,0081 × (0,7) = 0,00563

   P (X) < 4 = 1 - 0.00563 - 0.00243 = 0.99194

d)  Mean = np = 5 (0,3) = 1,5

e) Variația = np (1 - p) = 5 (0,3) (1-0,3) = 1,05